الرياضيات البحتة

ما هي المعادلات البارامترية للمستقيم في الفراغ؟

المعادلات البارامترية هي إحدى الصور الأساسية لتمثيل المستقيم في الفراغ ثلاثي الأبعاد. تعتمد هذه الصورة على نقطة معلومة تقع على المستقيم ومتجه اتجاه يحدد اتجاهه. إذا كانت النقطة \( (x0, y0, z_0) \) تقع على المستقيم وكان متجه الاتجاه \( \langle a, b, c \rangle \)، فإن المعادلات البارامترية تأخذ الشكل:

x = x_0 + a t \quad , \quad y = y_0 + b t \quad , \quad z = z_0 + c t

حيث \( t \) بارامتر حقيقي يتغير على جميع الأعداد الحقيقية. كل قيمة للبارامتر \( t \) تعطي نقطة جديدة على المستقيم، وعندما يمر \( t \) بكل القيم الممكنة نحصل على جميع نقاط المستقيم.

كيف ننتقل من المعادلة المتجهة إلى المعادلات البارامترية؟

المعادلة المتجهة للمستقيم هي:

\vec{r} = \vec{r_0} + t \vec{d}

حيث \( \vec{r0} = \langle x0, y0, z0 \rangle \) و \( \vec{d} = \langle a, b, c \rangle \). بتحليل هذه المعادلة إلى مركباتها الثلاث نحصل مباشرة على المعادلات البارامترية. هذه الخطوة بسيطة لكنها أساسية، لأن معظم المسائل تطلب التحويل بين الصور المختلفة (المتجهة والبارامترية والكارتيزية).

ما العلاقة بين المعادلات البارامترية والصورة الكارتيزية؟

إذا كانت المركبات \( a \) و \( b \) و \( c \) جميعها غير صفرية، فيمكننا حذف البارامتر \( t \) لنحصل على الصورة الكارتيزية (المتماثلة):

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

هذه الصورة مفيدة جداً في تحديد توازي مستقيمين أو إيجاد نقطة تقاطعهما. أما إذا كانت إحدى المركبات صفراً (مثل \( a = 0 \))، فإن المستقيم يكون موازياً لأحد المستويات الإحداثية، ونحتفظ بالمعادلة البارامترية المقابلة لها على حدة.

كيف نكتب المعادلات البارامترية للمستوى؟

المستوى يحتاج إلى نقطة ومتجهين غير متوازيين. إذا كانت النقطة \( (x0, y0, z0) \) والمتجهان \( \langle a1, b1, c1 \rangle \) و \( \langle a2, b2, c_2 \rangle \)، فإن المعادلات البارامترية للمستوى هي:

x = x_0 + a_1 s + a_2 t \quad , \quad y = y_0 + b_1 s + b_2 t \quad , \quad z = z_0 + c_1 s + c_2 t

حيث \( s \) و \( t \) بارامتران مستقلان. هذه الصورة تظهر بوضوح أن المستوى يتولد من نقطة ثابتة بإضافة أي تركيبة خطية من المتجهين المستقلين.

أمثلة تطبيقية مهمة

مثال 1: أوجد المعادلات البارامترية للمستقيم المار بالنقطة \( (2, -1, 3) \) ومتجه اتجاهه \( \langle 1, 4, -2 \rangle \).

الحل:
\[
x = 2 + t \quad , \quad y = -1 + 4t \quad , \quad z = 3 - 2t
\]

مثال 2: أوجد المعادلات البارامترية للمستقيم المار بنقطة الأصل ومتجه الاتجاه \( \langle -3, 0, 5 \rangle \).

الحل:
\[
x = -3t \quad , \quad y = 0 \quad , \quad z = 5t
\]

لاحظ أن \( y \) ثابتة، مما يعني أن المستقيم يقع في المستوى \( y = 0 \).

هذه الصور الثلاث (المتجهة والبارامترية والكارتيزية) متكافئة، والقدرة على التحويل بينها بسرعة هي مفتاح حل معظم مسائل المستقيمات والمستويات في الفراغ.

Test your knowledge

Answer the questions to check your understanding.

إذا كان المستقيم يمر بالنقطة (1، 2، −3) ومتجه اتجاهه ⟨4، −1، 5⟩ فما معادلاته البارامترية؟

المعادلات البارامترية س = 3ك ، ص = −2ك ، ع = 0 تمثل مستقيماً:

أي مما يلي يمثل صورة بارامترية صحيحة لمستوى يمر بالنقطة (0، 1، −2) ويوازي المتجهين ⟨1، 0، 3⟩ و ⟨−1، 2، 0⟩؟